[이산수학] 행렬

˚ 행렬(Matrix)    n×m 

정의 : 실수를 n행, m열로 나열된 배열을 말한다.

1) 행렬의 스칼라 곱(Scalar Multiplication) : 행렬 A에 실수 k를 곱하는 연산

2) 행렬의 곱셈

 

˚ 행렬의 종류

1) 영행렬(Zero Matrix)    O

2) 2차 정사각행렬(n-square Matrix) : 행과 열이 같은 행렬

3) 대각행렬(Diagonal Matrix) : 정사각행렬에서 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 행렬

4) 단위행렬(Unit Matix, Identity Matrix) : 대각행렬에서 대각원소가 모두 1인 행렬

5) 전치행렬(Transpose Matrix) 

: m × n 행렬의 행과 열을 바꾼 n × m 행렬

6) 대칭행렬(Symmetric Matrix) : 인 행렬

7) 부울행렬(Boolean Matrix, Zero-One Matrix) : 모든 원소가 0,1로 구성된 행렬

* 부울행렬 연산자

(1) 합(join) : A∨B=

(2) 교차(meet) : A∧B=

(3) 부울곱(boolean product) : A⊙B

* 부울행렬 연산의 특징

(1) A∨A=A, A∧A=A

(2) A∨B=B∨A , A∧B=B∧A

(3) (A∨B)∨C=A∨(B∨C)

(4) A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)

 

˚ 행렬식(Determinant) |A| or det(A)

정의 : n차 정사각행렬에 대응하는 수를 구하는 식

1) 소행렬(Minor Matrix)

n차 정사각행렬에서 r번쨰 행과 s번째 열을 제거해서 얻은 (n-1)×(n-1)행렬

2) 소행렬식 det(A)

n차 정사각행렬의 소행렬 에 대한 행렬식

3) 여인수(Cofactor) , 여인수행렬(Cofactor Matrix)

n차 정사각행렬 에서 원소 에 관련된 수와 그 수들에 대한 행렬

4) 여인수를 이용한 행렬식

˚ 역행렬(Inverse Matrix) 

정사각행렬 A에 대해 AB=BA=I를 만족하는 행렬 B

1) 행렬식을 이용한 역행렬

2) 수반행렬

여인수행렬 에 대한 전치행렬

3) 가역행렬(Invertible Matrix 또는 Nonsingular Matrix)

역행렬이 존재하는 행렬

4) 특이행렬(Singular Matrix)

역행렬이 존재하지 않는 행렬

* 행렬식을 이용한 역행렬에서 의 분모가 0이 되면 특이행렬이 된다.

 

˚ 연립 1차 방정식(System at linear Equation) : 1차 방정식 m개로 구성된 방정식

1) 첨가행렬(Augmented Matrix)

2) 1차 방정식의 해를 구하는 방법

(1) 가우스 소거법(Gaussion Elimination)

① 가우스 소거법(Gaussion Elimination)

계수행렬의 대각원소들이 모두 1로 만들고, 대각원소를 기준으로 아래쪽 원소들은 모두 0으로 만든 후 위쪽 원소들은 계수들로 남겨놓은 형태의 첨가행렬

② 가우스 조르단 소서법(Gauss Jordan Elimination)

가우스행렬의 계수 부분을 단위행렬로 만들어 구하는 방법